Родился 24 ноября 1922 г. в деревне Лунино Железногорского района Курской области. Учился в неполной средней школе, затем окончил Дмитриевский педагогический техникум.
В Красной Армии с октября 1940 г. Незадолго до начала войны поступил на учебу в военно-авиационное училище в Мелитополе. В 1942 г. училище было расформировано, а его курсанты были направлены на пополнение действующей армии. На фронте с мая 1942 г. Участвовал в боях под Ржевом, в Курской битве.
Отличился в боях за Берлин. 20 апреля 1945 г. командир батареи артиллерийского дивизиона 27-й гвардейской мотострелковой бригады (11-й гвардейский танковый корпус, 1-я гвардейская танковая армия, 1-й Белорусский фронт) гвардии лейтенант А.Н. Азаров в населенном пункте Когель развернул пушки и начал расстреливать противника. Сражался 5 часов в тылу немцев, вырвался из окружения и эвакуировал всех раненых.
24 апреля 1945 г. со стрелковыми подразделениями форсировал реку Шпрее, развернул орудия на открытой огневой позиции и умело управлял огнём, отражая контратаки противника. Когда из строя выбыли два командира огневых взводов и часть расчётов, Азаров взял на себя руководство расчётами орудий. Он подбил 1 танк, уничтожил 2 орудия, 12 пулемётов, 5 автомашин и много вражеских солдат и офицеров.
Плацдарм был не только удержан, но и расширен. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 31 мая 1945 г. гвардии лейтенанту Азарову Алексею Никаноровичу было присвоено звание Героя Советского Союза.
С 1946 г. лейтенант А.Н. Азаров в запасе. В 1950 г. окончил Московский юридический институт. Работал следователем прокуратуры в Москве (1950–1952).
С сентября 1952 по август 1954 г. был слушателем Высшей дипломатической школы Министерства иностранных дел СССР. Работал третьим секретарем Отдела стран Америки МИД СССР (1954), сотрудником Первого Главного управления Комитета государственной безопасности при Совете Министров СССР (1954–1990). Служил вторым секретарём Посольства СССР в Израиле (1960–1965), первым секретарём посольства СССР в Ираке (1969–1973), работал в отделе Ближнего Востока МИД СССР, советником посольства СССР в Арабской Республике Египет (1973–1982). С мая 1990 г. полковник А.Н. Азаров в отставке (с дипломатической службы вышел в отставку в 1992 г.). Умер 28 февраля 2013 г. Похоронен на Троекуровском кладбище в Москве.
Награды: ордена Ленина, Красного Знамени, Отечественной войны 1-й степени (два) и 2-й степени, Красной Звезды (два), медали, иностранные награды. Почетный гражданин Варшавы и Железногорска Курской области (1990). Увековечен на стеле «Героям-курянам» в Курске.
