Родился 20 ноября 1915 г. в селе Волжанце Советского района Курской области. Окончил 7 классов Кшенской школы, курсы бухгалтеров. Работал бухгалтером на Воронежской кондитерской фабрике, откуда был призван на действительную службу (1937–1940 гг.). По её завершении возвратился в с. Волжанец, работал на строительстве Кшенского сахарного завода.
Мобилизован в армию 24 июня 1941 г. Наводчик орудия артиллерийского дивизиона (69-я механизированная бригада, 9-й механизированный корпус, 3-я гвардейская танковая армия, 1-й Украинский фронт) сержант Михаил 3анин 13–20 ноября 1943 г. при отражении контратак противника в районе города Фастов Киевской области (Украина) прямой наводкой истребил более двадцати фашистских солдат и офицеров. 22 декабря 1943 г. был награждён орденом Славы 3-й степени.
Командир орудия ст. сержант Михаил 3анин 16–22 июля 1944 г. в боях в Золочевском районе Львовской области (Украина) проявил стойкость и упорство при отражении контратак противника. Командуя расчетом, поразил свыше двадцати вражеских солдат, подавил несколько огневых точек, подбил несколько автомобилей. За мужество и отвагу, проявленные в боях, ст. сержант М.Р. Занин 5 августа 1944 г. награждён орденом Славы 2-й степени.
Командир огневого взвода старшина Михаил 3анин 25–26 апреля 1945 г. в бою в пригородах Берлина (Биттерфельд и Штиглиц) вместе с бойцами пробивал путь нашей пехоте и танкам, метким огнем уничтожил пять огневых точек и до десяти солдат, взял в плен свыше десяти солдат и офицеров противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 июня 1945 г. старшина М.Р. Занин был награждён орденом Славы 1-й степени. В 1946 году М. Р. Занин был демобилизован из Вооруженных Сил СССР, поселился в пос. Кшенском, работал на Кшенском сахзаводе, в откормсовхозе и в милиции.
Умер 3 января 1984 г. Похоронен на кладбище в п. Кшенском. Его именем названа улица в п. Кшенском. Награды: Славы 3-й степени, 2-й степени, 1-й степени, медали «За боевые заслуги», «За освобождение Варшавы», «За освобождение Праги», «За взятие Берлина» и др. Увековечен на стеле «Героям-курянам» в Курске.
